Théorème de Weierstrass (approximation par des polynômes)

Théorèmes

Approximation par des polynômes

Théorème de Weierstrass d'approximation par des polynômes :

soit $f:[a,b]\to{\Bbb C}$
$f$ est continue sur $[a,b]$
$\varepsilon\gt 0$

$$\Huge\iff$$

il existe un polynôme $P$ tel que : $$\forall x\in[a,b],\quad \lvert f(x)-P(x)\rvert\lt \varepsilon$$

Exemple de tels polynômes : Polynômes de Bernstein

Approximation par des polynômes périodiques

Théorème de Weierstrass d'approximation par des polynômes périodiques :

soit $f:{\Bbb R}\to{\Bbb C}$
$f$ est continue
$f$ est $2\pi$-périodique

$$\Huge\iff$$

$f$ est limite uniforme sur ${\Bbb R}$ d'une suite de Polynôme trigonométriques

Exercices

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Comment construire de façon simple une fonction paire $\tilde f$ à partir d'une fonction quelconque $f$ ?
Verso: On utilise la moyenne entre $f(\lvert x\rvert)$ et $f(-\lvert x\rvert)$ : $$\tilde f:x\mapsto\frac{f(x)+f(-x)}2$$
Bonus:
END

Théorème de Weierstrass avec des polynômes pairs Soit $f\in\mathcal C([0,1],{\Bbb R})$. Montrer que $f$ est limite uniforme de polynômes pairs.

Prolongement par parité.
On prolonge $f$ par parité sur $[-1,1]$ en posant $f(x)=-x$ pour $x\lt 0$. Ce prolongement est bien continu sur $[-1,1]$.

Théorème de Weierstrass
D'après le théorème de Weierstrass, il existe une suite $(Q_n)_n$ de polynômes qui converge uniformément vers $f$

Rendre cette suite de polynômes pairs.
On rend cette suite de polynômes pairs en posant : $$P_n(x)=\frac{Q_n(x)+Q_n(-x)}2$$

Vérifier que $(P)_n$ converge uniformément.

On vérifie que $(P_n)_n$ converge bien uniformément vers $f$ sur $[0,1]$ en utilisant la convergence uniforme de $(Q_n)_n$ vers $f$ et la formule : $$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$

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